Irrationalité de racine de 2

Propriété

\(\sqrt2\) n'est pas un nombre rationnel.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde.
On suppose que \(\sqrt2\) est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe \(a\) et \(b\) entiers naturels, avec \(b\) non nul, tels que \(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\) , où \(\boldsymbol a\) et \(\boldsymbol b\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(\boldsymbol 1\) (on dit qu'ils sont premiers entre eux).
Ceci équivaut à \(2=\dfrac{a^2}{b^2}\).
Ceci équivaut à \(\color{red}{2b^2=a^2}\) donc \(a^2\) est un multiple de \(2\) c'est-à-dire que \(a^2\) est un nombre pair.
Par conséquent, \(\boldsymbol a\) est aussi un nombre pair.
Il existe alors \(k\) entier naturel tel que \(a=2k\) ; on remplace \(a\) par \(2k\) dans l'égalité écrite en rouge.
On obtient alors : \(2b^2=4k^2\Leftrightarrow b^2=2k^2\).
L'égalité ci-dessus indique que \(b^2\) est un nombre pair et donc que \(\boldsymbol b\) est aussi un nombre pair.
a et \(b\) étant tous les deux des nombres pairs, ils admettent \(2\) comme diviseur commun.
Or nous avons supposé au départ que \(a\) et \(b\) n'avaient pas d'autre diviseur commun que \(1\).
On aboutit alors une contradiction. 
L'hypothèse formulée au départ est donc fausse.
Par conséquent, \(\sqrt2\) n'est pas un nombre rationnel. \(\sqrt2\) est un nombre irrationnel.